Rabu, 23 Agustus 2017



Materi berkaitan dengan Eksponen

  1.  ,dibaca ” (a pangkat n)”
    dengan a disebut sebagai basis/bilangan pokok, sedangkan n disebut sebagai pangkat
    Misalkan 34= 3.3.3.3=81
  2. Anda harus menghindari 00 karena tidak terdefinisikan. Menurut definisi a0 = 1 apabila a 0
  3. Sifat-sifat operasi aljabar pada bilangan bulat positif untuk perpangkatan, antara lain

 Beberapa persamaan atau hal penting lainnya adalah:


Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh 1
2624 x 27 =26+4+7 =217
Contoh 2
25x35x75=(2.3.7)5=(42)5
Contoh 3

Contoh 4
Sederhanakanlah menjadi bilangan pangkat positif

Contoh 5
Sederhanakanlah bentuk berikut!

Latihan Soal
Sederhanakanlah

5. (UN MAT IPA 2014) Bentuk sederhana dari

adalah ….
6. Jika diketahui
, maka
7. Jika 2a = 3b = 6c , nyatakan c dalam a dan b
8. Tentukanlah nilai dari

Operasi Aljabar Pada Fungsi dan Contohnya

Operasi Aljabar Pada Fungsi dan Contohnya – Kali ini kita akan membahas tentang Aljabar, yang mengerucut ke pembahasan Operasi Aljabar Pada Fungsi. Untuk jelasnya mari kita simak bersama ulasannya berikut ini :

Definisi Aljabar

Aljabar merupakan salah satu cabang dari matematika yang mempelajari tentang pemecahan masalah menggunakan simbol–simbol sebagai pengganti konstanta dan variabel (wikipedia). Aljabar sendiri ditemukan oleh seorang cendekiawan Islam yaitu beliau Al Khawarizmi. Aljabar berasal dari kata “al – jabr” yang artinya penyelesaian.

Berikut ini Beberapa istilah pada Aljabar :

Variabel : simbol pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya secara jelas
Konstanta : bilangan yang tidak memuat variabel
Koefisien : faktor konstanta dari suatu variabel

Operasi Aljabar Pada Fungsi

Misalkan, f(x) dan g(x) diberikan oleh
f(x) = x dan g(x) = 2x
penjumlahan f(x) = x dan g(x) yaitu f(x) + g(x) = x + 2x = 3x
operasi aljabar ini mendefenisikan suatu fungsi baru yang disebut
jumlah dari f dan g,
dilambangkan dengan f + g. Nilai fungsi baru yang diperoleh ialah f(x) + g(x).
oleh karena itu, ( f + g )(x) = f(x) + g(x) = x + 2x = 3x

Secara umum. Defenisi jumlah f + g, selisih f – g, perkalian fg, dan pembagian f/g ialah sebagai berikut.
Defenisi ini berlaku jika f dan g terdefenisi.

Contoh Soalnya

Jika f(x) = x – 3 dan g(x) = 2×3 + 5x, tentukan hasil operasi fungsi berikut.
a. ( f + g )(x)
b. ( f – g )(x)
c. (fg)(x)
d. f /g

Penyelesaiannya :

a. ( f + g )(x) = f(x) + g(x)
= (x – 3) + (2×3 + 5x)
= 2×3 + 6x – 3

b. ( f – g )(x) = f(x) – g(x)
= (x – 3) – (2×3 + 5x)
= -2×3 – 4x – 3

c. (fg)(x) = f(x) g (x)
=(x-3)(2×3 + 5x)
=2×4 + 5×2 – 6×3 – 15x
=2×4 -6×3 +5×2 – 15x

d. ( f/g )(x) = f(x) / g(x)
= (x – 3) / (2×3 + 5x)

Twisty puzzles offer an entertaining way of improving your dexterity and problem solving skills.

Contoh Soal dan Penyelesaian Model Matematika Dari Suatu Program Linear

Model Matematika – Pada postingan sebelumnya kita sama-sama belajar tentang Pengertian Program Linear Dan Model Matematika . Oleh karenanya, admin akan melanjutkan materi tersebut kali ini dengan menghadirkan beberapa contoh soal mengenai model matematika. Model matematika merupakan sebuah rumusan matematika yang didapatkan dari sebuah proses penafsiran sebuah kejadian sehari-hari ke dalam rumus atau bahasa matematika. Agar kalian lebih memahami cara membuat model matematika dari suatu masalah program linear, simaklah contoh-contoh berikut:
Contoh Soal dan Penqelesaian Model Matematika Dari Suatu Program Linear

Contoh Soal dan Penyelesaian Model Matematika Dari Suatu Program Linear

Contoh Soal 1:
Sebuah pabrik memproduksi dua jenis barang K dan L dengan menggunakan dua buah mesin yaitu G1 dan G2. Untuk memproduksi barang K, mesin G1 harus beroperasi selama 3 menit dan mesin G2 selama 6 menit. Sedangkan untuk memproduksi barang L, mesin G1 harus beroperasi selama 9 menit dan mesin G2 beroperasi selama 6 menit. Mesin G1 dan G2 hanya bisa beroperasi tidak lebih dari 9 jam dalam sehari. Keuntungan bersih yang didapat untuk tiap barang K adalah Rp.350 dan untuk tiap barang L adalah Rp.700. 
Cobalah untuk membuat model matematika dari masalah program linear tersebut, apabila diharapkan keuntungan bersih yang sebesar-besarnya.
Penqelesaian:
Keterangan pada soal diatas dapat dituliskan dalam tabel seperti berikut ini:
 
Barang K
Barang L
Operasi tiap hari
Mesin G1
3 Menit
9 Menit
540 Menit
Mesin G2
6 Menit
6 Menit
540 Menit
Keuntungan
Rp. 350
Rp. 700
 
Kita misalkan Barang K diproduksi sebanyak p buah dan barang L diproduksi sebanyak q buah, maka:
Waktu operasi yang dibutuhkan untuk mesin G1 = 3p + 9q
Waktu operasi yang dibutuhkan untuk mesin G2 = 6p + 6q
Dikarenakan mesin G1 dan G2 Tidak boleh beroperasi lebih dari 9 jam = 540 menit setiap harinya, maka harus dipenuhi pertidaksamaan berikut ini:
3p + 9q ≤ 540 -> p + 4q ≤ 180
6p + 6q ≤ 540 -> p + q ≤ 90
Perlu diingat bahwa p dan q mewakili banyaknya barang, maka p dan q tidak mungkin bernilai negatif dan nilainya pun harus merupakan bilangan cacah. Sehingga, p dan q harus memenuhi pertidaksamaan di bawah ini:
p ≥ 0, q ≥ 0, dan p dan q ε C
Keuntungan bersih yang di dapat dalam Rupiah = 350p + 700q, dan diharapkan keuntungan bersih tersebut adalah sebesar-besarnya. Jadi model matematika yang dapat dibentuk berdasarkan persoalan di atas adalah:
p ≥ 0, q ≥ 0, p + 4q ≤ 180, dan p + q ≤ 90; p dan q ε C
Dengan bentuk (350p + 700q) sebesar-besarnya.
Contoh Soal 2:
Sebuah pabrik farmasi menyediakan dua jenis campuran L dan M. bahan-bahan dasar yang terkandung dalam setiap Kilogram campuran L dan M dapat dilihat pada tabel berikut ini:
  
Bahan 1
Bahan 2
Campuran L
0,4 Kg
0,6 Kg
Campuran M
0,8 Kg
0,2 Kg
Dari campuran L dan M tersebut akan dibuat campuran N. Campuran N tersebut sekurang-kurangnya mengandung bahan 1 sebanyak 4 Kg dan bahan 2 sebanyak 3Kg. Harga setiap Kilogram campuran L adalah Rp. 30.000 dan setiap campuran M adalah Rp. 15.000.
Tentukanlah model matematika dari persamaan di atas jika biaya total untuk membuat campuran N diharapkan bisa semurah-murahnya.
Penyelesaian:
Misalkan campuran N dibuat dari x Kg campuran L dan y Kg campuran M,
Bahan 1 yang terkandung = 0,4x + 0,8y
Karena sekurang-kurangnya mengandung bahan 1 sebanyak 4 Kg, maka harus dipenuhi pertidaksamaan berikut ini:
0,4x + 0,8y ≥ 4 Kg -> x + 2y ≥ 10
Bahan 2 yang terkandung = 0,6x + 0,2y
Karena sekurang-kurangnya mengandung bahan 2 sebanyak 3 Kg, maka harus dipenuhi pertidaksamaan berikut ini:
0,6x + 0,2y ≥ 3 Kg -> 3x + y ≥ 15
Diketahui bahwa x dan y menyatakan jumlah berat campuran sehingga nilainya tidaklah mungkin negative dan harus dinyatakan dalam bentuk bilangan real. Maka dari itu, x dan y diharuskan memenuhi pertidak samaan di bawah ini:
x ≥ 0, y ≥ 0, x dan y ε R
Total biaya yang diperlukan untuk membuat campuran N = 30000x + 15000y dengan biaya total yang diharapkan bisa semurah-murahnya. Maka model matematikanya adalah:
x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≥ 10, dan 3x + y ≥ 15; x dan y ε R
Dengan bentuk (30000x + 15000y) sekecil-kecilnya.

Statistika Data Median

Contoh soal pembahasan statistik menentukan mencari median data tunggal, data tunggal dengan frekuensi dan data berkelompok dengan beberapa tipe cara.

Soal No. 1
Diberikan data tunggal yang telah diurutkan sebanyak 99 buah. Tentukan data keberapa yang menjadi median!


Pembahasan
Untuk data berukuran n , dimana n adalah ganjil, maka yang menjadi median adalah



Jadi mediannya adalah data ke (99 + 1) : 2 = data ke 50.

Soal No. 2
Diberikan data sebagai berikut:
3, 6, 10, 6, 8, 7, 5, 6, 4

Tentukan median dari data di atas!

Pembahasan
Menentukan median atau nilai tengah dari data diatas:
Urutkan dulu datanya dari kecil ke besar.
3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 10

Coret secara berimbang kiri - kanan:
3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 10 

Ada 9 buah data, ambil data yang posisinya di tengah, yaitu data ke-5. Jadi mediannya adalah 6.

Soal No. 3
Diberikan data tunggal yang telah diurutkan sebanyak 100 buah. Tentukan data keberapa yang menjadi median!

Pembahasan
Untuk data berukuran n , dimana n adalah genap, maka yang menjadi median adalah



Jadi mediannya adalah (data ke 50 + data ke 51) : 2.

Soal No. 4
Diberikan data sebagai berikut:
3, 7, 10, 6, 8, 7, 5, 4

Tentukan median dari data di atas!

Pembahasan
Urutkan datanya:
3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 10

Coret berimbang kiri kanan:
3, 4, 5,  6, 7, 7, 8, 10 

Ada 8 buah data, jika diambil tengahnya ada diantara data ke 4 dan data ke 5. Jadi mediannya adalah (6 + 7) / 2 = 6,5.

Soal No. 5
Perhatikan tabel distribusi frekuensi data tunggal berikut ini

Nilaifrekuensi (f)
5
6
7
8
9
1
5
11
8
4

Tentukan mediannya!

Pembahasan
Banyaknya data adalah 1 + 5 + 11 + 8 + 4 = 29 buah data. Jadi mediannya ada pada data ke (29 + 1) : 2 = data ke 15. Dari tabel di atas data kelimabelas adalah 7.

Soal No. 6
Perhatikan tabel berikut!

Berat (kg)Frekuensi
31 - 36
37 - 42
43 - 48
49 - 54
55 - 60
61 - 66
67 - 72
4
6
9
14
10
5
2


Tentukan median!

Pembahasan
Total banyak datanya adalah n = 4 + 6 + 9 + 14 + 10 + 5 + 2 = 50, sehingga letak mediannya ada di antara data ke 25 dan 26.

Berat (kg)FrekuensiFrekuensi Kumulatif (fk)
31 - 36
37 - 42
43 - 48
49 - 54
55 - 60
61 - 66
67 - 72
4
6
9
14
10
5
2
4
10
19
33 ← data ke 25 dan 26 ada di sini.
43
48
50

Selanjutnya gunakan rumus median untuk tabel distribusi frekuensi data berkelompok:



dimana
fkMe = frekuensi kumulatif sebelum kelas median
fMe = frekuensi kelas median
tb = tepi bawah kelas median
p = panjang kelas
n = banyak data

Sehingga,

Soal No. 7
Diketahui data yang dinyatakan dalam tabel berikut:

NilaiFrekuensi
40 - 497
50 - 599
60 - 696
70 - 795
80 - 893

Median dari data tersebut adalah....
A. 49,5 + 80/9
B. 49,5 + 80/16
C. 59,5 + 80/9
D. 59,5 + 10/6
E. 59,5 + 150/6
(Statistika Median - UN Matematika SMA 2010 P04 )

Rumus Statistika Matematika

Pelajaran Statistika di tingkat SMA meliputi mean, modus, median, jangkauan, simpangan, dan ragam

1. Rumus Rataan Hitung (Mean)
Rata-rata hitung dihitung dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data. Rata-rata hitung bisa juga disebut mean.

a) Rumus Rataan Hitung dari Data Tunggal

b) Rumus Rataan Hitung Untuk Data yang Disajikan Dalam Distribusi Frekuensi


Dengan : fixi = frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian
xi = data ke-i

c) Rumus Rataan Hitung Gabungan

2. Rumus Modus

a. Data yang belum dikelompokkan

Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan mo.
b. Data yang telah dikelompokkan

Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus:


Dengan : Mo = Modus
L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i = Interval kelas
b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya
b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sesudahnya

3. Rumus Median (Nilai Tengah)

a) Data yang belum dikelompokkan

Untuk mencari median, data harus dikelompokan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar.

b) Data yang Dikelompokkan


Dengan : Qj = Kuartil ke-j
j = 1, 2, 3
i = Interval kelas
Lj = Tepi bawah kelas Qj
fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Qj
f = Frekuensi kelas Qj
n = Banyak data

4. Rumus Jangkauan ( J )

Selisih antara nilai data terbesar dengan nilai data terkecil.

5. Rumus Simpangan Quartil (Qd)

6. Rumus Simpangan baku ( S )

7. Rumus Simpangan rata – rata (SR)

8. Rumus Ragam (R)

Contoh soal statistika

Tabel 1.1 dibawah ini:

Jawab :




 

Limit Fungsi Aljabar

Dibahas

limit x → a

lim x → ∞ termasuk juga limit x → 0

Mulai dari yang mudah dulu, tipe soal-soal limit yang bisa diselesaikan dengan substitusi langsung seperti contoh berikut.

Soal No. 1
Tentukan hasil dari:


Pembahasan
Limit bentuk



diperoleh



Soal No. 2



Pembahasan
Limit aljabar bentuk



Substitusikan saja nilai x,

Berikutnya dilanjutkan dengan tipe metode turunan yaitu limit x menuju angka tertentu dimana jika disubstitusikan langsung mendapatkan hasil yang tak tentu.

Soal No. 3

Tentukan nilai dari


Pembahasan
Jika angka 2 kita substitusikan ke x, maka akan diperoleh hasil 0/0 (termasuk bentuk tak tentu), sehingga selesaikan dengan metode turunan saja.


Soal No. 4

Tentukan nilai dari


Pembahasan
Masih menggunakan turunan


Soal No. 5

Nilai


A. −1/4
B. −1/2
C. 1
D. 2
E. 4
(Soal Limit Fungsi Aljabar UN 2012)

Pembahasan
Bentuk 0/0 juga, ubah bentuk akarnya ke bentuk pangkat agar lebih mudah diturunkan seperti ini



Turunkan atas - bawah, kemudian masukkan angka 3 nya

Soal No. 6
Nilai dari



A. 16
B. 8
C. 4
D. -4
E. -8
(Matematika IPS 013)

Pembahasan
Bentuk 0/0 juga, dengan turunan:

atau dengan cara pemfaktoran:

Soal No. 7
Nilai



A. − 2/9
B. −1/8
C. −2/3
D. 1
E. 2
un matematika 2007

Pembahasan
Dengan substitusi langsung akan diperoleh bentuk 0/0.
Cara Pertama

Perkalian dengan sekawan dan pemfaktoran:



Cara Kedua

dengan turunan:

Catatan
Cara menurunkan


Ubah dulu bentuk akar jadi bentuk pangkat, kl akar pangkat dua itu sama saja dengan pangkat setengah, jadinya

Turunan dari 3 adalah nol, ga usah ditulis, lanjut turunan dari

dicari pakai turunan berantai namanya, prakteknya begini:
Pangkatnya taruh depan, terus pangkatnya dikurangi satu, terus dikali dengan turunan dari fungsi yang ada dalam kurung. x2 – 7 kalo diturunkan jadinya 2x – 0 atau 2x saja. Jadinya:


Contoh berikutnya limit x menuju tak berhingga dalam bentuk f(x)/g(x). Kesimpulan berikut digunakan pada tiga nomor berikutnya:



Soal No. 8

Tentukan nilai dari


Pembahasan
Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi yang sama, m = n



Soal No. 9

Tentukan nilai dari


Pembahasan
Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi dari pembilang lebih tinggi dari penyebutnya, m > n



Soal No. 10

Tentukan nilai dari


Pembahasan
Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi dari pembilang lebih rendah dari penyebutnya, m < n



Contoh berikutnya tipe soal limit → ∞ yang berbentuk "Selisih Akar Kuadrat".



Ini rumus yang nanti digunakan:



Kita terapkan pada soal berikut

Soal No. 11

Nilai dariadalah...


A. 3/4
B. 4/5
C. 6/5
D. 5/4
E. 4/3
(Ebtanas 1992)

Pembahasan
Limit bentuk selisih akar kuadrat dimana
a = p
dengan b = 3 dan q = −5 sehingga tengok rumus di atas



Soal No. 12

Nilai dariadalah...

A. − 39/10
B. − 9/10
C. −21/10
D. 39/10
E. ∞

Pembahasan
Langkah pertama ubah ke bentuk selisih akar seperti soal sebelumnya.



Soal No. 13

Nilai dariadalah...

A. ∞
B. 8
C. 5/4
D. 1/2
E. 0

Pembahasan
Ubah ke bentuk selisih akar seperti ini:



Soal No. 14

Nilai dariadalah...


Pembahasan
Ubah ke bentuk selisih akar seperti soal sebelumnya.



Soal No. 15

Nilai dari


Pembahasan
Soal limit aljabar dengan bentuk selisih akar gunakan ketentuan berikut:



Limit selisih akar dengan a = c, sehingga hasilnya = 0

Soal No. 16

Nilai dari


Pembahasan
Limit selisih akar dengan a > c, sehingga hasilnya = ∞

Model berikutnya:

Soal No. 17
Nilai dari l



A. 0
B. 1/3 √3
C. √3
D. 2√3
E. ∞
un ipa sma 2013

Pembahasan
Modifikasikan hingga jika disubstitusikan tidak menjadi bentuk tak tentu, 2x jika diubah bentuk akar akan menjadi √4x2:



Substitusi x dengan ∞ ingat bilangan dibagi tak hingga hasilnya (mendekati) NOL.