Pertumbuhan dalam Matematika

Apa sih yang dimaksud dengan pertumbuhan khususnya dalam matematika? Baik, secara garis besar, Pertumbuhan dalam Matematika adalah perubahan secara kuantitas (jumlah) suatu objek (baik benda mati maupun benda hidup) yang semakin lama semakin meningkat (semakin banyak) dari periode pertama, periode kedua, dan seterusnya dalam rentang waktu tertentu. Pertumbuhan yang akan dibahas lebih banyak pada pertumbuhan mahluk hidup seperti pertumbuhan pada manusia, bakteri, dan lainnya. Peningkatan yang terjadi pada Pertumbuhan dalam Matematika mengikuti pola atau aturan tertentu yang biasanya sesuai dengan barisan atau deret aritmatika dan barisan atau deret geometri.

Adapun Ilustrasi pertumbuhan misalnya terjadi pada model multilevel marketing dimana setiap anggota harus merekrut dua anggota. Misalkan seseorang berhasil merekrut dua anggota, maka kedua anggota tersebut berada pada tingkat 1. Selanjutnya jika kedua anggota pada tingkat 1 masing-masing berhasil merekrut dua anggota, maka keempat anggota dari tingkat 1 berada pada tingkat 2 dan anggota yang Anda memiliki sebanyak 6 orang. Selanjutnya, jika keempat anggota pada level 2 masing-masing merekrut 2 anggota, maka anggota pada tingkat 3 sebanyak 8 orang dan anggota Anda mencapai 14 orang. Tentunya Anda bisa menghitung banyak anggota yang Anda miliki jika tingkat Anda semakin tinggi.

Adapun Ilustrasi lain pertumbuhan misalkan terjadi pada pembelahan bakteri, dimana satu bakteri dapat membelah menjadi dua bakteri dan untuk membelah diri dibutuhkan waktu 1 jam. Dengan kata lain dari satu bakteri setelah 1 jam akan diperoleh dua bakteri. Selanjutnya, jika setiap bakteri dapat membelah diri menjadi dua bakteri baru, maka setelah 2 jam akan diperoleh empat bakteri, dan seterusnya.

Contoh soal pertumbuhan dalam matematika :
1). Sebuah penitipan kucing peliharaan mengalami peningkatan penitipan ketika mendekati hari raya besar yang terjadi biasanya 10 hari sebelum hari H. Jika peningkatan setiap harinya selalu tetap, diketahui pada hari kedua ada 4 kucing yang dititipkan oleh pelanggan dan pada hari keenam ada 16 kucing yang dititipkan, maka tentukan :
a). banyak kucing yang dititipkan pada hari kesepeluh.
b). banyak kucing perhari yang dititipkan setiap harinya.
c). jumlah total kucing yang dititipkan selama 10 hari.

Penyelesaian :

*). Karena peningkatan selalu tetap, maka pertumbuhan pada kasus ini mengikuti aturan barisan dan deret aritmatika. 

b). banyak kucing perhari yang dititipkan setiap harinya. 

hari pertama = 1 , 

hari kedua = 1 + 3 = 4 ekor kucing, 

hari ke-3 = 4 + 3 = 7 ekor kucing, 

hari ke-4 = 7 + 3 = 10 ekor kucing, 

hari ke-5 = 10 + 3 = 13 ekor kucing, 

hari ke-6 = 13 + 3 = 16 ekor kucing, 

hari ke-7 = 16 + 3 = 19 ekor kucing, 

hari ke-8 = 19 + 3 = 22 ekor kucing, 

hari ke-9 = 22 + 3 = 25 ekor kucing, 

hari ke-10 = 25 + 3 = 28 ekor kucing.

Artinya selama 10 hari pertama ada 145 ekor kucing yang dititipkan pelanggan ke penitipan kucing tersebut. 

Bagaimana dengan pertumbuhan yang melibatkan persentase atau kelipatan tertentu dari periode sebelumnya? bentuk pertumbuhan ini biasanya menggunakan pola atau barisan geometri. Misalkan pertumbuhan penduduk suatu tempat setiap tahunnya meningkat sebesar i (dimana i dalam %), dan banyak penduduk di awal sebanyak A₀ serta banyak penduduk setelah n tahun kita misalkan A_n , maka dapat kita susun model perhitungan setiap periodenya sebagai berikut ini:

setelah tahun pertama (A₁): 

Dari bentuk  A_n = A₀ (1 + i)ⁿ  sebenarnya mirip dengan barisan geometri yaitu  u_n = ar^n-1  dengan  r = 1 + i. Nah untuk pangkatnya kenapa berbeda? hal ini terjadi karena pada kasus pertumbuhan kita langsung menghitung dari suku kedua (setelah tahun pertama), yang sebenarnya sama saja yaitu :
suku kedua pada barisan geometri =ar^2-1 = ar¹ ar dan pertumbuhan setelah tahun pertama (sama dengan suku kedua atau tahun kedua) = A₀(1 +i)¹ =A₀(1+i).

Contoh soal pertumbuhan :
2). Banyak penduduk suatu kota setiap tahun meningkat sekitar 1% dari banyak penduduk tahun sebelumnya. Berdasarkan sensus penduduk pada tahun 2009, penduduk di kota tersebut berbanyak 100.000 orang. Hitung banyak penduduk pada tahun 2010 dan tahun 2020?

3). Kultur jaringan pada suatu uji laboratorium menujukkan bahwa satu bakteri dapat membelah diri menjadi 2 dalam waktu 2 jam. Diketahui bahwa pada awal kultur jaringan tersebut terdapat 1.000 bakteri. Tentukan banyak bakteri setelah 20 jam!