Tutorial Singkat

Barisan Dan Deret

A. Pola Bilangan
Pola dalam matematika kaitannya dengan bilangan adalah suatu susunan bilangan dengan aturan tertentu.
Perhatikanlah ilustrasi berikut
Misalkan beberapa kelereng disusun dan dikelompokkan dalam bentuk persegi sebagaimana berikut

kalau kita cermati maka kita dari kiri ke kanan masing-masing jumlah kelereng pada tiap kelompok berturut-turut adalah; 1, 4, 9, 16, 25.
sehingga kalau kita rinci

Dapatkah Anda menentukan kelompok ke-6, ke-7, ke-8, dan seterusnya?
Kalau kita amati dari kelompok 1, 2, 3, 4, sampai 5 ternyata membentuk pola banyak kelereng tertentu
$\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline Kelompok&Banyak kelereng&pola\\\hline \boxed{k_{1}}&1&1=1x1\\\hline \boxed{k_{2}}&4&4=2x2\\\hline \boxed{k_{3}}&9&9=3x3\\\hline \boxed{k_{4}}&16&16=4x4\\\hline \boxed{k_{5}}&25&25=5x5\\\hline ... &...&...\\\hline \boxed{k_{n}}&?&?=nxn\\\hline \end{tabular}$
dengan memperhatikan pola bilangan di atas kita akan dengan mudah menemukan jumlah kelereng kelompok 6 , yaitu jumlahnya akan sama dengan 6 x 6 = 36 demikian seterusnya.
B. Menemukan Pola Barisan dan Deret
Perhatikan bilangan berikut
$\frac{1}{2}, \frac{1}{6},\frac{1}{12},\frac{1}{20},\frac{1}{30},...,\frac{1}{9900}$
kalau kita tabelkan sebagaimana berikut
$\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline Suku ke&Nilai&Pola\\\hline \boxed{u_{1}}&\boxed{\frac{1}{2}}&\boxed{\frac{1}{2}=\frac{1}{1\times 2}}\\\hline \boxed{u_{2}}&\boxed{\frac{1}{6}}&\boxed{\frac{1}{6}=\frac{1}{2\times 3}}\\\hline \boxed{u_{3}}&\boxed{\frac{1}{12}}&\boxed{\frac{1}{12}=\frac{1}{3\times 4}}\\\hline ...&...&...\\\hline \end{tabular}$ .
kita akan dengan mudah menentukan suku ke-n atau $u_{n}$ , yaitu akan mengikuti pola $u_{n}=\frac{1}{n\times (n+1)}$ . Sehingga kita tidak akan kesulitan apabila ingin mengetahui suku ke-2014, yaitu
$u_{2014}=\frac{1}{2014\times (2015)}$ .
C. Barisan Aritmetika
Menurut definisi
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan di mana beda setiap suku yang berurutan akan sama.
Perhatikan untuk
jika $u_{1}=a$ , $u_{2}=a+b$ , maka $u_{3}=a+b+b=a+2b$ dan untuk suku seterusnya akan selalu ditambahkan dengan beda ” b “. Sehingga
$b=u_{2}-u_{1}=u_{3}-u_{2}=u_{4}-u_{3}=...=u_{n}-u_{n-1}$ . Selanjutnya suku-suku pada barisan aritmetika dapat kita tuliskan sebagai berikut:
$\begin{matrix} u_{1} & = & a&\\ u_{2} & = & u_{1}&+&b&=&u_{1}&+&1.b\\ u_{3} & = & u_{2}&+&b&=&u_{1}&+&2.b\\ u_{4} & = & u_{3}&+&b&=&u_{1}&+&3.b\\ u_{5} & = & u_{4}&+&b&=&u_{1}&+&4.b\\ ... & = & ...\\ u_{n} & = & u_{1}&+&(n-1)b \end{matrix}$
D. Deret Aritmetika
adalah apabila jika pada barisan aritmetika dijumlahkan atau dihubungkan dengan tanda jumlah
Perhatikanlah untuk deret aritmetika berikut
misalkan deret aritmetika dilambangkan dengan $S_{n}$
, maka
$S_{n}=a+\left ( a+b \right )+\left ( a+2b \right )+\left ( a+3b \right )+...+\left ( a+(n-1)b \right )$
dan
$S_{n}=a+\left ( a+b \right )+\left ( a+2b \right )+\left ( a+3b \right )+...+\left ( a+(n-1)b \right )\\ S_{n}=\left ( a+(n-1)n \right )+...+\left ( a+3b \right )+\left ( a+2b \right )+\left ( a+b \right )+a$
—————————————————— +
$2S_{n}=2a+(n-1)b+2a+(n-1)b+...+2a+(n-1)b\\ 2S_{n}=n\left ( 2a+(n-1)b \right )\\ S_{n}=\frac{n}{2}\left ( 2a+(n-1)b \right )\\ S_{n}=\frac{n}{2}\left ( a+a+(n-1)b \right )\\ S_{n}=\frac{n}{2}\left ( u_{1}+u_{n} \right )$
$\fbox{Contoh Soal}$
1. Perhatikan susunan bilangan memiliki pola sebagai berikut
$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline 1&3&7&15&...&... \\\hline \end{tabular}$
maka tentukanlah titik-titik pada kotak ke-5 dan ke-6 adalah… .
Jawab:
dengan melihat polanya kita menemukan hubungan sebagai mana ilustrasi berikut
$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline 1&3&7&15&...&... \\\hline 1&1+2=3&3+4=7&7+8=15&15+16=31&31+32=63\\\hline 1&3&7&15&31&63\\\hline \end{tabular}$
ternyata suku setelahnya diperoleh dengan cara suku sebelumnya ditambah dengan $2^{n-1}$ .
Misalkan
$u_{2}=u_{1}+2^{2-1}=1+2^{1}=1+2=3\\ u_{3}=u_{2}+2^{3-1}=3+2^{2}=3+4=7\\ u_{4}=u_{3}+2^{4-1}=7+2^{3}=7+8=15\\ ...\\ dst$
2. Diketahui barisan aritmetika 1,2,3,4,5,…, maka besar suku ke-15 atau $u_{15}$ adalah… .
Jawab:
Dari soal diketahui bahwa
$\left\{\begin{matrix} u_{1} &= & 1,&u_{2}&=&2,&u_{3}&=&3,&dst\\ &&&\\ b & = &u_{2}-u_{1}&=&u_{3}-u_{2}=1 \\ & & \\ u_{n} & = & a&+&(n-1)b \end{matrix}\right.$
sehingga
$u_{15}=a+(15-1)b\: \: ,\: maka\\ u_{15}=1+14.1=15$
3. Perhatikanlah barisan bilangan berikut
4, 1, -2, -5, -8, …, maka besar suku ke 15 adalah… .
Jawab:
$\left\{\begin{matrix} u_{1} &=&4, &u_{2}&=&1,&u_{3}&=&-2\\ & & \\ b & = & u_{2}-u_{1}&=&u_{3}-u_{2}=-3\\ & & \\ u_{n} & = & a&+&(n-1)b \end{matrix}\right.$
maka $u_{15}=a+(15-1)b\\ u_{15}=4+(14).-3\\ u_{15}=-38$
4. Tentukanlah jumlah deret aritmetika dari
$1+2+3+4+5+...+2014$
Jawab:
$diketahui\\ n=2014\\ u_{1}=1,\: u_{2014}=2014\\ S_{2014}=\frac{1}{2}\left ( u_{1}+u_{2014} \right )$ .
Sehingga
$S_{2014}=\frac{2014}{2}\left ( 1+2014 \right )=1007\times 2015$
E. Induksi Matematika
Misalkan $P(n)$ adalah sebuah pernyataan yang akan dibuktikan kebenarannya untuk semua bilangan asli $n$ ,

$P(1)$ bernilai benar
Jika $P(n)$ benar, maka $P(n+1)$ untuk semua $n$ bilangan asli.

$\fbox{Contoh Soal}$
Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n$ berlaku
$1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}\left ( n\times (n+1) \right )$
Bukti:
Misalkan
$P(n)=1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}\left ( n\times (n+1) \right )$
Langkah pertama:
untuk $n=1$ , diperoleh $1=\frac{1}{2}\left ( 1\times (1+1) \right )$ adalah benar, maka $P(1)$ benar.
Langkah kedua:
Anggap $P(n=k)$ benar, yakni
$P(k)=1+2+3+4+...+k=\frac{1}{2}\left ( k\times (k+1) \right )$ .
Langkah ketiga:
Akan ditunjukkan $P(n=k+1)$ benar, yaitu
$1+2+3+4+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)\times ((k+1)+1)}{2}$ .
Sebagai bukti:
$1+2+3+4+...+k+(k+1)=\frac{k\times (k+1)}{2}+(k+1)\\ =(k+1)\left ( \frac{k}{2}+1 \right )\\ =\frac{1}{2}\left ( k+1 \right )\left ( k+1 \right )\\ =\frac{1}{2}\left ( k+1 \right )\left ( (k+1)+1 \right )$
Karena $p(k+1)$ terbukti, maka
terbukti bahwa
$1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}\left ( n\times (n+1) \right )$ berlaku untuk setiap bilangan asli $n$ .
$\fbox{Latihan Soal}$
1. Carilah nilai titik-titik berikut berkaitan dengan pola bilangan
$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 1&1&2&3&5&8&...&...\\\hline \end{tabular}$
2. Seutas pita dibagi 10 bagian dengan panjang yang membentuk deret aritmetika. Jika pita terpendek 20 cm dan yang terpanjang 155 cm, maka panjang pita semula adalah… .
3. Suku ke-2 dari suatu deret aritmetika adalah 5. Jika jumlah suku ke-4 dan ke-6 adalah 28, maka suku ke-9 adalah… .
4. Jika jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika adalah $S_{n}=2n^{2}+3n$ , maka beda deret tersebut adalah… .
5. Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk $n$ bilangan asli berlaku

$1+2+3+4+...+n=\frac{1}{2}\left ( n^{2}+n \right )$
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+...+n^{2}=\frac{1}{6}\left ( 2n^{3}+3n^{2}+n \right )$
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+...+n^{3}=\frac{1}{4}\left ( n^{4}+2n^{3}+n^{2} \right )$
$1^{4}+2^{4}+3^{4}+4^{4}+...+n^{4}=\frac{1}{30}\left ( 6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n \right )$

Tutorial Singkat

Rabu, 23 Agustus 2017

Barisan Dan Deret

Tidak ada komentar:

Posting Komentar