Induksi Matematika

2.1  Pengertian Induksi Matematika

Induksi Matematika merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan. Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu. Indukasi Matematika digunakan untuk membuktikan universal statements " n Î A   S(n) dengan A Ì N  dan N adalah himpunan bilangan positif atau himpunan bilangan asli. S(n) adalah fungsi propositional.

2.2    Prinsip -prinsip Induksi Matematika

           2.2.1.     Induksi Sederhana.

Misalkan p ( n ) adalah pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p ( n ) benar untuk semua bilangan bulat positif n . Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

            1.  p (1) benar, dan

2.  Jika p ( n ) benar maka p ( n + 1) juga benar, untuk semua bilangan bulat  positif n ³ 1,

p Langkah 1 dinamakan basis induksi , sedangkan langkah 2 dinamakan langkah induksi .

p Langkah induksi berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p ( n ) benar. Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi .  

p Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa p ( n ) benar untuk semua bilangan bulat positif n .

Contoh 1. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n ² .

Penyelesaian :

(i)    Basis induksi : Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1 ² = 1. Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1.

(ii)   Langkah induksi : Andaikan p ( n ) benar, yaitu pernyataan

            1 + 3 + 5 + … + (2 n – 1) = n ²

adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke- n adalah (2 n – 1)]. Kita harus memperlihatkan bahwa p ( n +1) juga benar, yaitu

1 + 3 + 5 + … + (2 n – 1) + (2 n + 1) = ( n + 1) ²

juga benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:

     1 + 3 + 5 + … + (2 n – 1) + (2 n + 1)

= [1 + 3 + 5 + … + (2 n – 1)] + (2 n +1)

= n ² + (2 n + 1)

= n ² + 2 n + 1

= ( n + 1) ²

Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkan benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n ² .  

2.2.2.            Prinsip Induksi yang Dirampatkan

Misalkan p ( n ) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p ( n ) benar untuk semua bilangan bulat  n ³ n ₀ . Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

            1. p ( n ₀ ) benar, dan

            2. jika p ( n ) benar maka p ( n +1) juga benar,

               untuk semua bilangan bulat n ³ n ₀ ,

Contoh 2.

Untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n , buktikan dengan induksi matematik bahwa 2 ⁰ + 2 ¹ + 2 ² + … + 2 ⁿ = 2 ^{n +1} - 1

Penyelesaian :

(i)       Basis induksi . Untuk n = 0 (bilangan bulat tidak negatif pertama), kita  peroleh:

2 ⁰ = 2 ⁰⁺¹ – 1. 

Ini jelas benar, sebab 2 ⁰ = 1

       = 2 ⁰⁺¹ – 1

= 2 ¹ – 1

= 2 – 1

= 1

(ii) Langkah induksi . Andaikan bahwa p(n) benar, yaitu

                        2 ⁰ + 2 ¹ + 2 ² + … + 2 ⁿ = 2 ^{n +1} - 1

adalah benar (hipotesis induksi). Kita harus menunjukkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu

                        2 ⁰ + 2 ¹ + 2 ² + … + 2 ⁿ + 2 ^{n +1} = 2 ^{( n +1) + 1} - 1

juga benar. Ini kita tunjukkan sebagai berikut:

2 ⁰ + 2 ¹ + 2 ² + … + 2 ⁿ + 2 ^{n +1} = (2 ⁰ + 2 ¹ + 2 ² + … + 2 ⁿ ) + 2 ^{n +1} = (2 ^{n +1} – 1) + 2 ^{n +1} (hipotesis induksi)

                                                                                                =  (2 ^{n +1} + 2 ^{n +1} ) – 1

                                                                                                = (2 . 2 ^{n +1} ) – 1

                                                                                                = 2 ^{n +2} - 1

                                                                                                = 2 ^{( n +1) + 1} – 1   

Karena langkah 1 dan 2 keduanya telah diperlihatkan benar, maka untuk semua bilangan bulat tidak-negatif n , terbukti bahwa 2 ⁰ + 2 ¹ + 2 ² + … + 2 ⁿ = 2 ^{n +1} – 1

2.2.3.            Prinsip Induksi Kuat

Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan bulat dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat  n ³ n ₀ . Untuk membuktikan ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa:

            1. p(n ₀ ) benar, dan

2. jika p(n ₀ ), p(n ₀ +1), …, p(n) benar maka p(n+1) juga benar untuk semua bilangan bulat  n ³ n ₀ ,.

Contoh 4.

Bilangan bulat positif disebut prima jika dan hanya jika bilangan bulat tersebut habis dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri. Kita ingin membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif n ( n ³ 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima. Buktikan dengan prinsip induksi kuat.

Penyelesaian : 

Basis induksi . Jika n = 2, maka 2 sendiri adalah bilangan prima dan di sini 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian dari satu buah bilangan prima, yaitu dirinya sendiri.

Langkah induksi . Misalkan pernyataan bahwa bilangan 2, 3, …, n dapat dinyatakan sebagai perkalian (satu atau lebih) bilangan prima adalah benar (hipotesis induksi). Kita perlu menunjukkan bahwa n + 1 juga dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima. Ada dua kemungkinan nilai n + 1:

(a)           Jika n + 1 sendiri bilangan prima, maka jelas ia dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.

(b)          Jika n + 1 bukan bilangan prima, maka terdapat bilangan bulat positif a yang membagi habis n + 1 tanpa sisa. Dengan kata lain,

            ( n + 1)/ a = b    atau ( n + 1) = ab

yang dalam hal ini, 2 £ a £ b £ n . Menurut hipotesis induksi, a dan b dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima. Ini berarti, n + 1 jelas dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima, karena n + 1 = ab .                                      Karena langkah (i) dan (ii) sudah ditunjukkan benar, maka terbukti bahwa setiap bilangan bulat positif n ( n ³ 2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.