Tutorial Singkat

Contoh Soal Barisan dan Deret

1. Misalkan di pojok sebuah ruangan beberapa kubus diletakkan bersusun terdiri dari 4 lapisan, perhatikan gambar berikut

Berdasarkan gambar di atas, tentukanlah

a. Berapa jumlah kubus yang terdapat pada lapisan ke-4?

b. Berapakah total jumlah kubus yang terdapat pada gambar di atas?

c. Misalkan terdapat 8 lapisan, maka berapakah total kubus yang terdapat pada pojok ruangan?

d. Berapakah banyak lapisan akan ada, jika pada dasar lapisan terdapat 300 kubus?

Jawab:

Dengan mengasumsikan lapisan pertama adalah yang paling atas, maka banyak kubus sesuai lapisan dapat kita tuliskan sebagai pola bilangan sebagai berikut:

$1,3,6,10$

Sehingga apa bila ada 10 lapisan maka

$1,3,6,10,15,21,28,36,45,55$

a. jumlah kubus yang terdapat pada lapisan ke-4 adalah sebanyak 10.

b. Jumlah total kubus yang terdapat sesuai gambar adalah dengan memperhatikan polanya ada sebanyak 20 kubus.

c. Jika ada 8 lapisan maka total kubus ada sebanyak 120.

d. Banyak lapisan jika paling dasar saja terdapat 300

Perhatikan lagi pola bilangan di atas. Pola bilangan tersebut kalau kita tuliskan lagi dapat kita kondisikan sebagai berikut

yaitu

$u_{n}=\frac{1}{2}n\left ( n+1 \right )$

Sehingga untuk

$u_{n}=\frac{1}{2}n\left ( n+1 \right )=300\\ n\left ( n+1 \right )=600\\ n\left ( n+1 \right )=24\times 25\\ n\left ( n+1 \right )=24\times \left ( 24+1 \right )\\ Jadi\\ n=24$

2. Tentukanlah apakah barisan berikut adalah barisan aritmetika, geometri atau barisan lainnya

$\begin{matrix} a. & &u_{n}=10-\frac{3}{5}n \\ b. & &-2,-4,-8,-16,... \\ c. & & 1,1,2,3,5,8,...\\ d. & &u_{n}=3^{\frac{n}{2}} \end{matrix}$

Jawab:

a. Karena peubahnya hanya $n$ , dan pangkatnya 1 maka $u_{n}$ akan berupa barisan aritmetika.

b. Perhatikanlah pola barisan bilangan tersebut, bilangan berikutnya dikalikan 2 , sehingga dapat dikatakan barisan tersebut adalah barisan geometri

c. Untuk barisan bilangan ini, dari suku pertama ke suku kedua dan berikutnya ternyata tidak memenuhi ketentuan barisan aritmetika maupun geometri. Jadi barisan ini termasuk bukan barisan aritmetika maupun geometri.

d. Barisan ini memiliki aturan geometri, yaitu $u_{n}=3^{\frac{n}{2}}=\sqrt{3}^{n}$ sehingga termasuk barisan geometri.

Berkaitan beda pada barisan aritmetika dan rasio pada barisan geometri silahkan dicari sebagai latihan.

3. Tentukanlah suku ke-8 dari barisan geometri berikut

$\begin{matrix} a. & & 3,1,\frac{1}{3},\frac{1}{9},...\\ b. & & 1,4,16,64,... \end{matrix}$

Jawab:

a. $3,1,\frac{1}{3},\frac{1}{9},...\left\{\begin{matrix} u_{1} & = & 3\\ & & \\ u_{2}&=&1\\ & &\\ r&=&\frac{u_{2}}{u_{1}}&=&\frac{1}{3} \end{matrix}\right.$

Sehingga

$u_{n}=ar^{n-1}\\ u_{8}=3.\left ( \frac{1}{3} \right )^{8-1}\\ u_{8}=3.3^{-7}\\ u_{8}=3^{-6}\\ u_{8}=\frac{1}{3^{6}}$

b. Dengan ketentuan yang sama kita mendapatkan

$1,4,16,64,...\left\{\begin{matrix} u_{1} & = & 1\\ & & \\ u_{2} & = & 4\\ & & \\ r & = & \frac{u_{2}}{u_{1}}&=&\frac{4}{1}&=&4 \end{matrix}\right.$

sehingga

$u_{8}=ar^{n-1}\\ u_{8}=1.4^{8-1}\\ u_{8}=4^{7}$

4. Tentukan banyak suku yang harus diambil supaya deret geometri $1+\left ( \frac{5}{4} \right )+\left ( \frac{5}{4} \right )^{2}+...$ memiliki jumlah tidak lebih dari 32.

Jawab:

Diketahui bahwa deret geometri dengan

$\left\{\begin{matrix} u_{1} & = & 1\\ & & \\ u_{2} & = & \frac{5}{4}\\ & & \\ r & = & \frac{5}{4} \end{matrix}\right.$

Selanjutnya

$S_{n}=\frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}\leq 32\\ \frac{1.\left ( \left ( \frac{5}{4} \right )^{n}-1 \right )}{\frac{5}{4}-1}\leq 32\\ \left ( \frac{5}{4} \right )^{n}-1\leq 32.\frac{1}{4}\\ \left ( \frac{5}{4} \right )^{n}\leq 8+1\\ \log \left ( \frac{5}{4} \right )^{n}\leq \log 9$

Sehingga

$n\log \left ( \frac{5}{4} \right )\leq \log 9\\ n\leq \frac{\log 9}{\log \left ( \frac{5}{4} \right )}\\ n\leq 9,837$ .

Jadi, banyak suku supaya jumlah deret tersebut di atas tidak memiliki jumlah lebih dari 32 adalah 8 suku.

5. Tentukanlah jumlah dari

$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+...+\frac{1}{2014\times 2015}$

Jawab:

Perhatikan bahwa

$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+...+\frac{1}{2014\times 2015}\\ =\left ( \frac{1}{1}-\frac{1}{2} \right )+\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right )+\left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right )+...+\left ( \frac{1}{2013}-\frac{1}{2014} \right )\\ =1-\frac{1}{2015}=\frac{2014}{2015}$

6. Jumlah 5 suku pertama deret geometri adalah 93 dan rasio deret itu adalah 2. Hasil kali suku-3 dan ke-6 adalah…

Jawab:

Diketahui deret geometri dengan $r=2$ , dan

$a+2a+4a+8a+16a=93\\ 31a=93\\ a=3\\ \\ maka\\ \\ u_{3}\times u_{6}=\left ( 4\times 3 \right )\times \left ( 32\times 3 \right )\\ =1152$

7. Sebuah bola dijatuhkan dari gedung setinggi 3 meter ke lantai dan memantul kembali setinggi $\frac{4}{5}$ dari tinggi sebelumnya (lihat ilustrasi gambar di bawah). Tentukanlah panjang lintasan bola tersebut sampai pada pantulan ke-10

Jawab:

Misalkan panjang lintasannya adalah $S_{total}$ , maka

$S_{total}=u_{1}+2\left ( u_{2}+u_{3}+u_{4}+...+u_{10} \right )\\ \Leftrightarrow \: S_{total}=2\left ( u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{10} \right )-u_{1}\\ \Leftrightarrow \: S_{total}=2S_{10}-u_{1}$

Perhatikan tabel berikut

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline Deret&Jumlah\quad suku-suku&Nilai\\\hline S_{1}&u_{1}&3\\\hline S_{2}&u_{1}+u_{2}&\displaystyle 3+\frac{12}{5}=3\left ( \frac{9}{5} \right )=3\left ( \frac{25-16}{5} \right )\\\hline S_{3}&u_{1}+u_{2}+u_{3}&\displaystyle 3+\frac{12}{5}+\frac{48}{25}=3\left ( \frac{61}{25} \right )=3\left ( \frac{125-64}{25} \right )\\\hline S_{4}&u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}&\displaystyle 3+\frac{12}{5}+\frac{48}{25}+\frac{192}{125}=3\left ( \frac{369}{125} \right )=3\left ( \frac{625-256}{125} \right )\\\hline ...&...&...\\\hline S_{n}&u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+...+u_{n}&\displaystyle S_{n}=3\left ( \frac{5^{n}-4^{n}}{5^{n-1}} \right )\\\hline \end{array}$ .

Sehingga

$S_{10}=3\left ( \frac{5^{10}-4^{10}}{5^{9}} \right )$ .

maka

$S_{total}=6\left ( \frac{5^{10}-4^{10}}{5^{9}} \right )-3$ .

8. Tentukanlah nilai dari

$1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...+\frac{1}{1+2+3+4+...+2014}$

Jawab:

$1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...+\frac{1}{1+2+3+4+...+2014}$ .

$=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+...+\frac{1}{\frac{1}{2}\left ( 2014\times 2015 \right )}$ .

$\begin{matrix} 1 & = & \frac{2}{1} &-&\frac{2}{2} \\ \frac{1}{1+2} & = & \frac{2}{2} &-&\frac{2}{3} \\ \frac{1}{1+2+3} & = & \frac{2}{3} &-&\frac{2}{4} \\ \vdots & = & \vdots & -&\vdots \\ \frac{1}{1+2+3+4+...+2014}& = & \frac{2}{2014} &-&\frac{2}{2015} \end{matrix}$ .

Jadi

$\frac{2}{1}-\frac{2}{2015}=\frac{4030-2}{2015}=\frac{4028}{2015}$ .

9. Diberikan susunan bilangan

$7474474447444474444474444447...$

Berapa banyak bilangan sebelum digit $7$ yang ke-2014?

Jawab:

Coba perhatikan untuk

$\bullet \: Sebelum\: digit\: 7\: yang\: ke-2\: ada\: 2\: bilangan\: atau\: \frac{2\times 3}{2}-1\: bilangan\\ \\ \bullet \:Sebelum\: digit\: 7\: yang\: ke-3\: ada\: 5\: bilangan\: atau\: \frac{3\times 4}{2}-1\: bilangan\\ \\ \bullet \: Sebelum\: digit\: 7\: yang\: ke-4\: ada\: 9\: bilangan\: atau\: \frac{4\times 5}{2}-1\: bilangan\\ \\ dst\\ \\ \bullet \: Sebelum\: digit\: 7\: yang\: ke-n\: ada\: bilangan\: sebanyak\: \frac{n\times (n+1)}{2}-1\: bilangan\\$

Sehingga sebelum digit $7$ yang ke-2014 akan ada bilangan sebanyak $\frac{2014\times 2015}{2}-1$

10. Sederhanakan penjumlahan dari

$1+11+111+1111+...+\underset{2014}{\underbrace{1...1}}$
$9+99+999+9999+...+\underset{2014}{\underbrace{9...9}}$

Jawab:

Misalkan kita kerjakan yang

$9+99+999+9999+...+\underset{2014}{\underbrace{9...9}}$ .

Kita anggap sebagai

$S_{n}=9+99+999+9999+...+\underset{n}{\underbrace{9...9}}\\ \\ S_{n}=\left ( 10-1 \right )+\left ( 10^{2}-1 \right )+\left ( 10^{3}-1 \right )+\left ( 10^{4}-1 \right )+...+\left ( 10^{n}-1 \right )\\ \\ S_{n}=10+10^{2}+10^{3}+10^{4}+...+10^{n}-\left ( \underset{n}{\underbrace{1+1+1+...+1}} \right )\\ \\ S_{n}=10\left ( \frac{10^{n}-1}{10-1} \right )-n\\ \\ S_{n}=\frac{1}{9}\left ( 10^{n+1}-10-9n \right )$

Sehingga

$S_{2014}=\frac{1}{9}\left ( 10^{2015}-10-9\times 2014 \right )$ .

Untuk bentuk

$1+11+111+1111+...+\underset{2014}{\underbrace{1...1}}$ , cukup dengan

$9+99+999+9999+...+\underset{2014}{\underbrace{9...9}}$ kita bagi dengan 9.

$1+11+111+1111+...+\underset{m}{\underbrace{1...1}}\\ \\ S_{m}=1+11+111+1111+...+\underset{m}{\underbrace{1...1}}\\ \\ S_{m}=\frac{1}{81}\left ( 10^{m+1}-10-9m \right )\\ \\ Sehingga\\ \\ S_{2014}=\frac{1}{81}\left ( 10^{2015}-10-9\times 2014 \right )$ .

Sumber Referensi

Kanginan, Marthen, Yuza Terzalgi. 2013. Matematika Untuk SMA/MA Kelas X. Bandung: SEWU.
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. 2013. Matematika Kelas X. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.

Tutorial Singkat

Rabu, 23 Agustus 2017

Contoh Soal Barisan dan Deret

Tidak ada komentar:

Posting Komentar