Tutorial Singkat

Determinan dan Invers Matriks

A. Determinan Matriks

1. Determinan Matriks Ordo 2×2

Perhatikan ilustrasi berikut!

Jika dua buah bilangan asli apabila dijumlah sama dengan 2014 dan selisihnya adalah 14 berapakah bilangan bilangan terbesarnya?

apabila kita tuliskan atau nyatakan dalam SPLDV dengan bilangan pertama sebagai x, dan bilangan kedua adalah y, maka menjadi

$\left\{\begin{matrix} x & + & y & = & 2014\\ x & - & y & = & 14 \end{matrix}\right.$

Persoalan di atas dapat langsung diselesaikan dengan SPLDV dengan metode eliminasi maupun substitusi.

Kaitannnya dengan matriks, apabila persoalan di atas direpresentasikan dengan matriks, maka

$\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 1&-1 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2014\\ 14 \end{bmatrix} ..............(1)$

Sehingga, untuk SPLDV

$\left.\begin{matrix} a_{1}x & + &b_{1}y & = &c_{1} \\ a_{2}x & + &b_{2}y & = & c_{2} \end{matrix}\right\}\rightarrow \begin{bmatrix} a_{1} &b_{1} \\ a_{2}& b_{2} \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} c_{1}\\ c_{2} \end{bmatrix}$

penyelesaian untuk persamaan tersebut adalah:

$\boxed{x=\frac{b_{2}\times c_{1}-b_{1}\times c_{2}}{a_{1}\times b_{2}-a_{2}\times b_{1}}}$

dan

$\boxed{y=\frac{a_{1}\times c_{2}-a_{2}\times c_{1}}{a_{1}\times b_{2}-a_{2}\times b_{1}}}$

dengan

$\boxed{a_{1}\times b_{2}\neq a_{2}\times b_{1}}$

Selanjutnya $\boxed{a_{1}\times b_{2}-a_{2}\times b_{1}}$ disebut sebagai determinan matriks $\begin{bmatrix} a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{bmatrix}$ serta dinotasikan dengan $\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}$ .

Misalkan A adalah sebuah matriks persegi ordo 2 x 2 yang dapat ditulis $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ maka hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder disebut sebagai determinan matriks A dan selanjutnya dinotasikan dengan det. A.

2. Determinan Matriks Ordo 3×3

Perhatikatikan ilustrasi berikut

[sumber]

dengan aturan perkaliannya sebagaimana berikut ini

[sumber]

Misalkan B adalah matriks ordo 3×3

${B=\begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{bmatrix}}$

maka determinan dari matriks B adalah

[sumber]

$\fbox{Contoh Soal}$

1. Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ , tentukan determinan dari matriks A tersebut!

Jawab:

determinan dari matriks A = $\left | A \right |=\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$

Catatan:

Jika det.A = 0, maka matriks tersebut dinamakan matriks singular dan karenanya matriks itu tidak memiliki invers.
Jika det.A $\neq$ 0, maka matriks tersebut selanjutnya disebut sebagai matriks non singular dan karenanya matriks tersebut memiliki invers.

2. Jika diketahui $B=\begin{pmatrix} 2 & 5\\ 3 & 7 \end{pmatrix}$ , maka carilah nilai det.B?

Jawab:

$det.B=\begin{vmatrix} 2 &5 \\ 3 & 7 \end{vmatrix}=2.7-5.3=14-15=-1$

3. Sebuah matriks $A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 11\\ 0 & -3 & 5\\ -1 & 3 & 0 \end{bmatrix}$ , tentukan determinan matriks A!

Jawab:

[sumber]

$\fbox{Latihan Soal}$

1. Tentukan determinan dari matriks

a. $A=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

b. $B=\begin{bmatrix} -1 & 2\\ -3 & 4 \end{bmatrix}$

c. $C=\begin{bmatrix} 2014 & 2\\ 2010 & 4 \end{bmatrix}$

d. $D=\begin{bmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{3}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3} \end{bmatrix}$

2. Tentukan determinan dari matriks

a. $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 \\ 4 & 5 &6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$

b. $B=\begin{bmatrix} 0 & -2 &3 \\ 4 & 0 &\sqrt{5} \\ -\sqrt{5} & 8 & 0 \end{bmatrix}$

c. $C=\begin{bmatrix} 1 & -1 &1 \\ 0 & 2 &7 \\ -4 & 8 & 9 \end{bmatrix}$

d. $D=\begin{bmatrix} 1 & -1 &-1 \\ -8 & 7 &6 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

3. Tentukan determinan dari matriks

${M=\begin{bmatrix} n^{2} & (n+1)^{2} & (n+2)^{2}\\ (n+1)^{2} & (n+2)^{2} & (n+3)^{2}\\ (n+2)^{2} & (n+3)^{2} & (n+4)^{2} \end{bmatrix}}$

4. Tunjukkan bahwa matriks A adalah

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ a^{3} & b^{3} & c^{3} \end{pmatrix}$ .

Tunjukkan bahwa

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ a^{3} & b^{3} & c^{3} \end{vmatrix}=\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )\left ( a+b+c \right )$

B. Invers Matriks Ordo 2×2

Perhatikan kembali determinan pada contoh soal no (1) di atas, maka untuk menentukan invers dari matriks A tersebut adalah

$\boxed{A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}}$

$\fbox{Contoh Soal}$

1. Perhatikan contoh (2) tentukan invers matriks tersebut.

Jawab:

$B^{-1}=\frac{1}{\left | B \right |}\begin{pmatrix} 7 &-5 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ ,

$A^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 7 &-5 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix} 7 & -5\\ -3 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -7 & 5\\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ .

2. Nyatakan apakah matriks-matriks berikut mempunyai invers. Jika ada inversnya tentukan inversnya

a. $X=\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

b. $Y=\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 4 & 2 \end{pmatrix}$

c. $Z=\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 10 & 5 \end{pmatrix}$

Jawab:

a. Karena 1.5 – 4.1 $\neq$ 0, maka matriks X memiliki invers.

$X^{-1}=\frac{1}{1.5-4.1}\begin{pmatrix} 5 & -4\\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & -4\\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

b.Karena 3.2 – 1.4 $\neq$ 0, maka matriks Y memiliki invers.

$Y^{-1}=\frac{1}{3.2-1.4}\begin{pmatrix} 2 &-1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 &-1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2}\\ -2 & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$

c. Karena 4.5 – 2.10 = 0, maka matriks Z tidak memiliki invers.

3. Jika $A=\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ . Tunjukkan bahwa $A.A^{-1}=A^{-1}.A=I$

Jawab:

$A.A^{-1}=\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{pmatrix}\times \frac{1}{3.3-2.2}\begin{pmatrix} 3 & -2\\ -2 & 3 \end{pmatrix}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 3 & -2\\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ ,

$A.A^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3.3+2(-2) & 3.(-2)+2.3\\ 2.3+3.(-2) & 2.(-2)+3.3 \end{pmatrix}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 5 & 0\\ 0 & 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{5}{5} & \frac{0}{5}\\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Sehingga terbukti bahwa $A.A^{-1}=I$

Untuk $A^{-1}.A=I$ , silahkan Anda buktikan sendiri sebagai latihan.

$\fbox{Latihan Soal}$

1. Jika diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 2 & 5\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ , maka tentukanlah

a. AB

b. BA

c. $A^{-1}$ .

d. $B^{-1}$ .

e. $(AB)^{-1}$ .

f. $(BA)^{-1}$ .

g. $A^{-1}.B^{-1}$ .

h. $B^{-1}.A^{-1}$

2. Jika $A=\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 4 & 1 \end{pmatrix}$ , dan I adalah matriks identitas, untuk ordo 2 x 2 adalah $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , maka tentukanlah

a. $A^{t}$

b. $A^{-1}$ .

c. $(2A^{t})^{-1}$ .

d. $\left ( A+A^{t} \right )^{-1}$ .

e. $A^{-2}$ , dengan $A^{-p}=\left ( A^{-1} \right )^{p}$ .

f. $A^{-3}$ .

g. $A^{-4}$ .

h. $A^{-2}-2A^{-1}+I$ .

i. $\left ( A+I \right )^{-3}$ .

C. Invers Matriks untuk SPLDV dan Aturan Cramer untuk SPLTV

1. Invers Matriks untuk SPLDV

Perhatikan Ilustrasi berikut!

Suatu ketika pak Ahmad membeli 3 roti kaleng dan 2 buah mainan untuk anaknya di sebuah toko seharga Rp 210.000,00. Dan pada saat yang bersamaan pak Aziz membeli 2 buah roti kaleng dan 3 buah mainan seharga Rp 190.000,00. Berapakan harga perbarang yang dibeli oleh mereka berdua?

Jawab:

Dimisalkan $\left\{\begin{matrix} x & = & Roti & kaleng\\ y & = & mainan & anak \end{matrix}\right.$

untuk kasus di atas, model matematikanya adalah sebagai berikut:

$\left\{\begin{matrix} 3x & + & 2y & = & 210.000\\ 2x & + & 3y & = & 190.000 \end{matrix}\right.$

Representasi matriks yang bersesuaian dari SPLDV di atas adalah

$\begin{bmatrix} 3 &2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 210.000\\ 190.000 \end{bmatrix}$

Persamaan tersebut adalah A.X=B, sehingga untuk mendapatkan X , kita dapat memanfaatkan invers dari matriks A , yaitu

$A^{-1}.A.X=A^{-1}.B\Leftrightarrow I.X=A^{-1}.B\Leftrightarrow X=A^{-1}.B$ .

$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{bmatrix}^{-1}\times \begin{bmatrix} 210.000\\ 190.000 \end{bmatrix}$ .

$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\frac{1}{\begin{vmatrix} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{vmatrix}}\times \begin{bmatrix} 3 & -2\\ -2 & 3 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 210.000\\ 190.000 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix} 3.(210.000) & +&(-2).(190.000)\\ (-2).(210.000) & +&3.(190.000) \end{bmatrix}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix} 250.000\\ 150.000 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 50.000\\ 30.000 \end{bmatrix}$

Jadi, nilai x= Rp 50.000,00 dan y = Rp 30.000,00

2. Aturan Cramer untuk SPLDV

Perhatikan kembali pada poin A. Determinan Matriks

untuk SPLDV

di mana , nilai x-nya adalah

$\boxed{x=\frac{b_{2}\times c_{1}-b_{1}\times c_{2}}{a_{1}\times b_{2}-a_{2}\times b_{1}}}$

$\Rightarrow \LARGE\boxed{x=\frac{\begin{vmatrix} c_{1} & b_{1}\\ c_{2} & b_{2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}}}$

serta nilai y-nya adalah

$\boxed{y=\frac{a_{1}\times c_{2}-a_{2}\times c_{1}}{a_{1}\times b_{2}-a_{2}\times b_{1}}}$

$\Rightarrow \LARGE\boxed{y=\frac{\begin{vmatrix} a_{1} & c_{1}\\ a_{2} & c_{2} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}}}$

berkaitan dengan kasus pak Ahmad dan pak Aziz di atas, jika kita ingin menggunakan aturan Cramer, maka

${x=\frac{\begin{vmatrix} 210.000 & 2\\ 190.000 & 3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{vmatrix}}}=\frac{630.000-380.000}{9-4}=\frac{250.000}{5}=50.000$

dan

${x=\frac{\begin{vmatrix} 3 & 210.000\\ 2 & 190.000 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{vmatrix}}}=\frac{570.000-420.000}{9-4}=\frac{150.000}{5}=30.000$

3. Aturan Cramer untuk SPLTV

untuk SPLTV

$\left\{\begin{matrix} a_{1}x &+ &b_{1}y & + &c _{1}z & = & d_{1} \\ a_{2}x & + &b_{2}y & + & c_{2}z & = & d_{2} \\ a_{3}x & + &b _{3} & + &c _{3}z & = & d_{3} \end{matrix}\right.$

maka Aturan Cramer untuk SPLTV tersebut adalah

${x=\frac{\begin{vmatrix} d_{1} & a_{1} & b_{1}\\ d_{2} & a_{2} & b_{2}\\ d_{3} & a_{3} & b_{3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} &c_{1} \\ a_{2} & b_{2} &c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}}}$

${y=\frac{\begin{vmatrix} a_{1} & d_{1} & b_{1}\\ a_{2} & d_{2} & b_{2}\\ a_{3} & d_{3} & b_{3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} &c_{1} \\ a_{2} & b_{2} &c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}}}$

${z=\frac{\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & d_{1}\\ a_{2} & b_{2} & d_{2}\\ a_{3} & b_{3} & d_{3} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} &c_{1} \\ a_{2} & b_{2} &c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}}}$

$\fbox{Latihan Soal}$

1. Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan cara Cramer

a. $\left\{\begin{matrix} x & + & y & = & -1\\ 2x & - & y & = & 7 \end{matrix}\right.$

b. $\left\{\begin{matrix} -x & + & 2y & = & 24\\ 3x & - & 6y & = & 10 \end{matrix}\right.$

c. $\left\{\begin{matrix} 2x & + & y & = & 8\\ 5x & - & 3y & = & 9 \end{matrix}\right.$

2. Tentukanlah penyelesaian dari SOLTV berikut dengan cara Cramer

a. $\left\{\begin{matrix} x & - & 4y & + & z & = &6 \\ 4x & - & y & + & 2z & = &-1 \\ 2x & + & 2y & - & 3z & = & -20 \end{matrix}\right.$

b. $\left\{\begin{matrix} x & + & 8y & + & 7z & = &0 \\ 2x & + & 3y & + & 5z & = &4 \\ 7x & + & 4y & - & z & = & 2 \end{matrix}\right.$

c. $\left\{\begin{matrix} 2x & + & y & + & 2z & = &10 \\ -5x & + & 6y & + & 4z & = &9 \\ 10x & + & 4y & + & 2z & = & 46 \end{matrix}\right.$

Tutorial Singkat

Rabu, 23 Agustus 2017

Determinan dan Invers Matriks

Tidak ada komentar:

Posting Komentar