Relasi dan Fungsi

 

A. Relasi

1. Pendahuluan

• Pasangan terurut; didefinisikan sebagai pasangan bilangan (x,y) dengan x menempati urutan pertama dan y menempati urutan kedua. Selanjutnya pasangan (x,y) disebut koordinat, dengan x sebagai absis dan y sebagai ordinat.
• Produk kartesius; jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, maka produk kartesius dari himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan x ∈ A dan y ∈ B. Selanjutnya produk kartesius dari dua himpunan A dan B dituliskan sebagai

Misal dan , maka tentukanlah A x B dan B x A

Jawab:

• Sebagai definisi berikutnya; untuk A x B produk kartesius himpunan A dan B, maka relasi R dari himpunan A ke B adalah sembarang himpunan bagian dari produk kartesius A x B

Perhatikan kembali contoh si atas. Dari contoh di atas kita dapat menemukan beberapa himpunan bagian dari B x A yaitu di antaranya sebagai berikut

.

.

.

2. Beberapa hal tentang relasi

Perhatikanlah ilustrasi berikut

atau

[sumber]

 Beberapa hal tersebut adalah

• Untuk pasangan terurut (x,y) dengan x ∈ A dan y ∈ B , maka dinamai relasi x ∈ A ke y ∈ B dan dinotasikan dengan x R y
• himpunan A adalah daerah asal (Domain) dari relasi R
• himpunan B adalah daerah kawan (kodomain) dari relasi R
• himpunan bagian dari B dengan x R y atau y ∈ B adalah daerah hasil/jelajah (Range) dari relasi R

Untuk memperjelas

[sumber]

1. Jika R suatu relasi dari A ke B , di mana dan serta , maka 2 R p, 2 R q, 3 R q, tetapi 3 p.

2. Pada soal no.1 jelajah dari R adalah

B. Fungsi(Pemetaan)

Fungsi adalah bentuk khusus dari relasi

• Setiap x dari domain hanya akan berkaitan dengan satu y, unsur sari kodomain.
• Pada suatu fungsi tidak ada pasangan terurut dengan absis yang sama, tetapi untuk ordinat boleh sama.
• Setiap unsur pada Domain harus terpakai dan harus berkaitan hanya tepat satu unsur pada kodomain.
• Semua unsur pada kodomain tidak harus punya pasangan dari unsur-unsur domain (tidak harus habis terpakai).
• Suatu fungsi dari himpunan A ke B dilambangkan dengan f : A → B.
• Untuk x ∈ A dan y ∈ B pada f : A → B , x disebut pra peta (variabel bebas) dan y disebut peta dari x jika x berkaitan dengan y(variabel terikat) dan dituliskan sebagai y = f(x).
• Daerah asal (domain) fungsi f adalah himpunan A dan dilambangkan dengan .
• Daerah kawan (kodomain) fungsi f adalah himpunan B dan dilambangkan dengan .
• Himpunan sumua peta (daerah hasil) di kodomain disebut jelajah f dan dilambangkan dengan .

1. Nyatakan relasi berikut apakah fungsi atau bukan fungsi

a)  b) 

c)  d) 

[sumber]

Jawab:

a), b), dan d) adalah fungsi sedangkan c) bukan fungsi karena terdapat 2 anggota himpunan asal(domain) tidak memiliki kawan di daerah kawan(kodomain)

2. Tentukan domain, kodomain, dan rang fungsi yang ditunjukkan oleh gambar berikut

[sumber]

Jawab:

Himpunan adalah himpunan asal atau domain dari fungsi f, sehingga .

Sedangkan himpunan  adalah daerah kawan atau kodomain fungsi f, sehingga .

Sedangkan untuk hasilnya dari fungsi f adalah range yaitu .

3. Perhatikanlah gambar berikut!

manakah yang merupakan fungsi, jika daerah asalnya adalah sumbu X

a) 

 b) 

 c) 

d) 

e) 

Jawab:

Dengan memperhatikan definisi fungsi, maka gambar a) dan c) bukan termasuk fungsi, karena dengan sebuah anggota daerah asal (prapeta) ternyata akan memiliki pasangan lebih dari satu dari anggota daerah kawan(peta ).

4) Tentukanlah daerah asal di anggota himpunan bilangan real dari fungsi berikut

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

f) .

Jawab:

Untuk a) dan b) semua x ∈ ℜ memenuhi. Untuk c) karena fungsi logaritma, maka perhatikanlah syarat numerusnya yaitu sehingga .

Sedangkan untuk d) daerah asalnya adalah , sehingga . Sedangkan e) supaya terdefinisi di ℜ , maka  . Sehingga . Untuk f) supaya terdefinisi di ℜ , maka . Sehingga .

5. Diketahui . Tentukanlah

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

f) .

g) .

Jawab:

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

f) .

g) .

6. Sketsalah grafik fungsi .

Jawab:

1. Relasi dari  ke  adalah ” satu kurangnya dari ” .Tentukanlah domain, kodomain, dan range serta sajikan relasi itu ke dalam diagram panah, diagram Cartesius dan himpunan pasangan terurut.

2. Tentukan domain, kodomain , dan range dari fungsi f yang ditunjukkan oleh diagram panah di bawah!

[sumber]

3. Tentukanlah daerah asal dari fungsi-fungsi berikut

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

f) .

4. Diketahui daerah asal suatu fungsi adalah  . Tentukanlah daerah hasil fungsi-fungsi berikut

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

f) .

5. Fungsi f : R → R yang ditentukan oleh . Tentukanlah

a) Domain dan range dari .

b) Range fungsi  , jika domain  = .

c) Range fungsi  , jika domain  = .

d) Domain  , jika range  = .

e)  , jika .

f) 

6. Diketahui kurva fungsi  yang didefinisikan

.

a) buatlah sketsa grafik fungsi itu

b) Tentukanlah nilai .