Tutorial Singkat

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

$\fbox{\LARGE\fbox{Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat}}$ .

1. Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variabel x adalah

$\boxed{\LARGE\boxed{{ax^{2}+bx+c=0}}}$

dengan $a,b,c\in \mathbb{R},a\neq 0$ $\left\{\begin{matrix} a=koefisien\: x^{2}\\ \\ b=koefisioen\: x\\ \\ c=konstanta \end{matrix}\right.$ .

2. Penyelesaian Persamaan Kuadrat

$\begin{array}{llll}\\ &&a.&Memfaktorkan\\ &&&\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )=0,\quad atau\\ &&&\displaystyle \frac{1}{a}\left ( ax-p \right )\left ( ax-q \right )=0,\quad jika\: koefisien\: x^{2}\: lebih\: dari\: \: 1\\ &&b.&melengkapkan\: kuadrat\: sempurna\\ &&&\displaystyle x=-\frac{1}{2}b\pm \sqrt{\left ( \frac{1}{2}b \right )^{2}-c},\quad jika\: \left ( \frac{1}{2}b \right )^{2}-c\geq 0\\ &&c.&Rumus\: ABC\\ &&&\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \end{array}$ .

3. Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

$\displaystyle x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\qquad\quad dan\qquad\quad x_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}$ .

4. Persamaan Kuadrat Baru dengan Akar-Akar $\displaystyle \mathbf{x_{1}}$ dan $\displaystyle \mathbf{x_{2}}$ .

$\displaystyle \mathbf{x^{2}-\left ( x_{1}+x_{2} \right )x+x_{1}.x_{2}=0}$ .

5. Fungsi Kuadrat

Adalah suatu fungsi yang berupa $f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c,\qquad dengan\: \: a,b,c\in \mathbb{R}$ .

Beberapa hal yang perlu diketahui berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat adalah:

Jika $a> 0$ , kurva terbuka ke atas.
Jika $a< 0$ , kurva terbuka ke bawah.
Jika $D> 0$ , kurva memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.
Jika $D= 0$ , kurva menyinggung sumbu x.
Jika $D< 0$ , kurva tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x.

5.1 Fungsi kuadrat jika grafiknya menyinggung sumbu X di titik $\left ( x_{1},0 \right )$ dan melalui sebuah titik tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya adalah

$\boxed{y=f(x)=a\left ( x-x_{1} \right )^{2}}$ .

5.2 Fungsi kuadrat jika grafiknya memotong sumbu X di titik $\left ( x_{1},0 \right )\quad dan\quad \left ( x_{2},0 \right )$ adalah

$\boxed{y=f\left ( x \right )=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )}$ .

5.3 Fungsi kuadrat jika grafiknya melalui titik puncak/balik/ekstrim $\left ( x_{p},y_{p} \right )$ dan melalui sebuah titik tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya adalah

$\boxed{y=f(x)=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}}$ .

$\fbox{\fbox{Contoh Soal}}$

1. Persamaan kuadrat $\mathbf{x^{2}-9x+3}$ mempunyai akar $r$ dan $s$ . Jika $\mathbf{x^{2}-bx+c}=0$ memiliki akar $\mathbf{r^{2}}$ dan $\mathbf{s^{2}}$ , maka nilai dari $\displaystyle \mathbf{\frac{a}{b}}$ adalah ….

Jawab:

$\begin{array}{llll}\\ &&&x^{2}-9x+3=0\left\{\begin{matrix} r\\ \\ s \end{matrix}\right.\\ &&&\displaystyle r+s=9\\ &&&\displaystyle rs=3\\ &&&x^{2}-bx+c=0\left\{\begin{matrix} r^{2}\\ \\ s^{2} \end{matrix}\right.\\ &&&\displaystyle \frac{b}{c}=\frac{\left ( r+s \right )^{2}-2rs}{\left ( rs \right )^{2}}=\frac{9^{2}-2.3}{3^{2}}=\frac{25}{3} \end{array} \\\\Jadi\quad \displaystyle \frac{b}{c}=\frac{25}{3}$ .

2. Diketahui persamaan kuadrat $x^{2}+2ax+b=0$ memiliki akar yang berlawanan $\displaystyle \left ( x_{1}=-x_{2} \right )$
, tentukanlah $a$ dan $b$ .

Jawab:

Diketahui bahwa

$x^{2}+2ax+b=0\left\{\begin{matrix} a=1\\ b=2a\\ c=b \end{matrix}\right.\\\\\\\\ Sehingga\:untuk\\\\\\ \begin{aligned}x_{1}&=-x_{2}\\ x_{1}+x_{2}&=0\\ \left ( -2a \right )&=0\\ a&=0\\\\ serta\\\\ x_{1}.x_{2}&=b\\ \left ( -x_{2} \right ).x_{2}&=b\\ -x_{2}^{2}&=b \end{aligned}$

3. Tentukanlah semua nilai $c$ sehingga persamaan $\displaystyle \mathbf{x^{2}-4x-c-\sqrt{8x^{2}-32x-8c}}=0$ memiliki tepat dua solusi real untuk $c$ .

Jawab:

$\begin{aligned}x^{2}-4x-c-\sqrt{8x^{2}-32x-8c}&=0\\ x^{2}-4x-c&=\sqrt{8x^{2}-32x-8c}\qquad (dikuadratkan\: masing-masing\: ruas)\\ \left ( x^{2}-4x-c \right )^{2}&=8x^{2}-32x-8c\\ \left ( x^{2}-4x-c \right )^{2}-8\left ( x^{2}-4x-c \right )&=0\\ \left ( x^{2}-4x-c \right )\left ( x^{2}-4x-c-8 \right )&=0\\\\\\ \end{aligned}\\ karena\: D\geq 0\: (memiliki\: 2\: akar\: real)\\\\\\ \begin{aligned}x^{2}-4x-c=0&\qquad atau\qquad x^{2}-4x-c-8=0\\ D=\left ( -4 \right )^{2}-4.1.(-c)\geq 0&\qquad atau\qquad D=\left ( -4 \right )^{2}-4.1.(-c-8)\geq 0\\ 16+4c\geq 0&\qquad atau\qquad 16+4c+32\geq 0\\ c\geq -4&\qquad atau\qquad c\geq -12 \end{aligned}$ .

Kita ambil yang $c\geq -4$ .

Catatan:

Jawaban ini sekaligus koreksi jawaban di ebook Materi dan Contoh Soal Olimpiade Matematika MA/SMA pada soal yang sama. Apabila pembaca sekalian masih menemukan ada kesalahan, saya dengan senang hati menerima masukan dan sekaligus solusi yang paling tepat dari pembaca sekalian untuk pencerahan kepada saya khususnya dan pemirsa pada umumnya).

4. Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar dari persamaan $\mathbf{ 2x^{2}-5x-3=0}$ , maka tentukanlah nilai berikut tanpa menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu

$\begin{array}{l}\\ a.\quad \alpha ^{2}+\beta ^{2}\qquad\quad b.\quad \frac{2}{\alpha }+\frac{2}{\beta }\qquad\quad c.\quad 3\alpha +3\beta\qquad d.\quad \alpha ^{2}\beta +\alpha \beta ^{2}\\\\ e.\quad \frac{1}{\alpha -4}+\frac{1}{\beta -4}\qquad f.\quad \alpha ^{3}+\beta ^{3}\qquad g.\quad \left ( \alpha -\beta \right )^{2} \end{array}$ .

Jawab:

Diketahui persamaan

$2x^{2}-5x-3=0\left\{\begin{matrix} a=2\\ b=-2\\ c=-3 \end{matrix}\right.\\\\\\ \begin{aligned}\alpha +\beta &=-\frac{b}{a}\\ &=-\left ( \frac{-5}{2} \right )=\frac{5}{2}\\\\ \alpha \beta &=\frac{c}{a}\\ &=\frac{-3}{2} \end{aligned}\\\\\\ Perlu\: diingat\: juga\\\\ \left ( \alpha +\beta \right )^{2}=\alpha ^{2}+2\alpha \beta +\beta ^{2}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&a.&\alpha ^{2}+\beta ^{2}=\left ( \alpha +\beta \right )^{2}-2\alpha \beta =\displaystyle \left ( \frac{5}{2} \right )^{2}-2\left ( -\frac{3}{2} \right )\\ &&&=\displaystyle \frac{25}{4}+3 =\frac{37}{4}\\\end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&b.&\displaystyle \frac{2}{\alpha }+\frac{2}{\beta }=\frac{2\left ( \alpha +\beta \right )}{\alpha \beta }\\ &&&=\displaystyle \frac{2\left ( \frac{5}{2} \right )}{-\frac{3}{2}}=-\frac{10}{3}\end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&c.&\displaystyle 3\alpha +3\beta =3\left ( \alpha +\beta \right )=3\left ( \frac{5}{2} \right )=\frac{15}{2}\end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&d.&\displaystyle \alpha ^{2}\beta +\alpha \beta ^{2}=\alpha \beta \left ( \alpha +\beta \right )\\ &&&=\displaystyle \left ( -\frac{3}{2} \right )\left ( \frac{5}{2} \right )\\ &&&=\displaystyle -\frac{15}{4} \end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&e.&\displaystyle \frac{1}{\alpha -4}+\frac{1}{\beta -4}=\frac{\left ( \beta -4 \right )+\left ( \alpha -4 \right )}{\left ( \alpha -4 \right )\left ( \beta -4 \right )}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{\alpha +\beta -8}{\alpha \beta -4\left ( \alpha +\beta \right )+16}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{\frac{5}{2}-8}{\left ( -\frac{3}{2} \right )-4\left ( \frac{5}{2} \right )+16}\times \left ( \frac{2}{2} \right )\\\\ &&&=\displaystyle \frac{5-16}{-3-20+32}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{-11}{9}\\\\ &&&=\displaystyle -\frac{11}{9} \end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&f.&\displaystyle \alpha ^{3}+\beta ^{3}=\left ( \alpha +\beta \right )^{3}-3\alpha \beta \left ( \alpha +\beta \right )\\ &&&=\displaystyle \left ( \frac{5}{2} \right )^{3}-3\left ( -\frac{3}{2} \right )\left ( \frac{5}{2} \right )\\\\ &&&=\displaystyle \frac{125}{8}+\frac{45}{4}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{215}{8} \end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&g.&\displaystyle \left ( \alpha -\beta \right )^{2}=\alpha ^{2}-2\alpha \beta +\beta ^{2}\\ &&&=\alpha ^{2}+\beta ^{2}-2\alpha \beta \\ &&&=\displaystyle \frac{37}{4}-2\left ( -\frac{3}{2} \right )\\\\ &&&=\displaystyle \frac{37}{4}+\frac{12}{4}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{49}{4} \end{array}$ .

5. (Soal Kompetisi Matematika SMU XVIII DKI Jakarta) Jika diketahui $x_{1},x_{2},x_{3},$ dan $x_{4}$ adalah akar-akar dari persamaan

${\left ( x+1 \right )\left ( 2x+1 \right )\left ( 3x-1 \right )\left ( 4x-1 \right )+6x^{4}=0}$ .

dan diketahui pula $x_{4}> x_{3} > x_{2} > x_{1}$ dan $x_{1}+x_{4}=m$ serta $x_{2}+x_{3}=n$ , maka nilai $m\times n$ = ….

Jawab:

$\begin{aligned}\left ( x+1 \right )\left ( 2x+1 \right )\left ( 3x-1 \right )\left ( 4x-1 \right )+6x^{4}&=0\\ \left ( \left ( x+1 \right )\left ( 2x+1 \right ) \right )\left ( \left ( 3x-1 \right )\left ( 4x-1 \right ) \right )+6x^{4}&=0\\ \left ( 2x^{2}+3x+1 \right )\left ( 12x^{2}-7x+1 \right )+6x^{4}&=0\\ 24x^{4}+22x^{3}-7x^{2}-4x+1+6x^{4}&=0\\ 30x^{4}+22x^{3}-7x^{2}-4x+1&=0\\ \left ( 5x^{2}+2x-1 \right )\left ( 6x^{2}+2x-1 \right )&=0\\ 5x^{2}+2x-1=0\quad V\quad 6x^{2}+2x-1&=0\\ \displaystyle x=\frac{-1}{5}\pm \frac{1}{5}\sqrt{6},\quad\quad x=\frac{-1}{6}\pm \frac{1}{6}\sqrt{7}&\\ \end{aligned}$ .

Selanjutnya kita urutkan nilai $x$ dari besar kekecil, yaitu:

$\begin{array}{l}\\ \quad x_{4}=\frac{-1}{5}+\frac{1}{5}\sqrt{6}\qquad\quad x_{3}=\frac{-1}{6}+\frac{1}{6}\sqrt{7}\\\\ \quad x_{2}=\frac{-1}{6}-\frac{1}{6}\sqrt{7}\qquad\quad x_{1}=\frac{-1}{5}-\frac{1}{5}\sqrt{6} \end{array}$ .

Sehingga

$\begin{aligned}m=x_{1}+x_{4}&=\left ( \frac{-1}{5}-\frac{1}{5}\sqrt{6} \right ) +\left ( \frac{-1}{5}+\frac{1}{5}\sqrt{6} \right )=\frac{-2}{5}\\ n=x_{2}+x_{3}&=\left ( \frac{-1}{6}-\frac{1}{6}\sqrt{7} \right )+\left ( \frac{-1}{6}+\frac{1}{6}\sqrt{7} \right )=\frac{-1}{3}\end{aligned}\\\\\\ Jadi,\quad m\times n=\frac{-2}{5}\times \frac{-1}{3}=\frac{2}{15}$ .

6. Tentukan fungsi kuadrat, jika mempunyai titik balik (1, 4) dan melalui (0, 3)

Jawab:

Gunakan persamaan parabola/kuadrat yang melalui titik puncak, yaitu:

$y=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}\left\{\begin{matrix} \left ( x_{p},y_{p} \right )=\left ( 1,4 \right )\\ \\ \left ( x,y \right )=\left ( 0,3 \right ) \end{matrix}\right.$ .

Selanjutnya

$\begin{aligned}y&=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}\\ 3&=a\left ( 0-1 \right )^{2}+4\\ a&=-1 \end{aligned}$ .

Sehingga persamaan kuadratnya adalah:

$\begin{aligned}y&=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}\\ y&=-1\left ( x-1 \right )^{2}+4\\ y&=-1\left ( x^{2}-2x+1 \right )+4\\ y&=-x^{2}+2x+3 \end{aligned}\\\\ \\ Jadi\\\\ \LARGE{y=-x^{2}+2x+3}$ .

7. Jumlah dari kuadrat dua bilangan ganjil berurutan adalah 130. Tentukan dua bilangan tersebut

Jawab:

Misalkan Bilangan ganjil berurutan yang dimaksud adalah A dan B, maka kita dapat menuliskannya dengan

$\left\{\begin{matrix} A=(2x+1)\\ \\ B=(2x+3) \end{matrix}\right.\quad ,x\in \mathbb{N}$ .

Selanjutnya

$\begin{aligned}A^{2}+B^{2}&=130\\ \left ( 2x+1 \right )^{2}+\left ( 2x+3 \right )^{2}&=130\\ 4x^{2}+4x+1+4x^{2}+12x+9&=130\\ 8x^{2}+16x+10-130&=0\\ 8x^{2}+16x-120&=0\\ x^{2}+2x-15&=0\\ \left ( x+5 \right )\left ( x-3 \right )&=0\\ \left ( x+5 \right )=0\quad V\quad \left ( x-3 \right )&=0\\ x=-5\quad V\quad x&=3 \end{aligned}$ .

dengan mengambil x = 3, kita mendapatkan bilangan ganjil yang dimaksud, yaitu

$A=\left ( 2x+1 \right )=2(3)+1=7\qquad dan\qquad B=\left ( 2x+3 \right )=2(3)+3=9$ .

Jadi, bilangan ganjil tersebut adalah 7 dan 9.

$\fbox{\fbox{Latihan Soal}}$ .

1. Tentukanlah jenis akar-akar persamaan berikut dengan tanpa menyelesaiakan persamaannya terlebih dahulu

$\begin{array}{llll}\\ &&a.&4x^{2}-20x+25=0\\ &&b.&3x^{2}-7x-6=0\\ &&c.&5x^{2}+3x+4=0\\ &&d.&2014x^{2}-2015=0\\ &&e.&\sqrt{2}x^{2}-x-1=0\\ &&f.&x^{2}-2016x=0\\ &&g.&\displaystyle \frac{2}{x}-\frac{x+1}{x-1}=4\\ &&h.&\displaystyle \frac{x}{4}-\frac{3}{x+2}=2x\\ &&i.&\displaystyle \left ( a+1 \right )x^{2}+2ax+\left ( a-1 \right )=0\quad \left ( a> 0 \right ) \end{array}$ .

2. Jika $\alpha$ dan $\beta$ akar-akar persamaan kuadrat $3x^{2}-x-4=0$ , tanpa menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu, tentukanlah nilai dari

$\begin{array}{llll}\\ &&a.&\left ( \alpha +\beta \right )\quad dan\quad \left ( \alpha \beta \right )\\ &&b.&\displaystyle \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }\\ &&c.&\alpha ^{2}+\beta ^{2}\\ &&d.&\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }+\frac{\beta }{\alpha }\\ &&e.&\displaystyle \frac{1}{\alpha +1}+\frac{1}{\beta +1}\\ &&f.&\alpha ^{3}+\beta ^{3}\\ &&g.&\alpha -\beta \\ &&h.&\alpha ^{2}-\beta ^{2}\\ &&i.&\alpha ^{3}-\beta ^{3} \end{array}$ .

3. Tentukan $p$ jika akar-akar dari persamaan kuadrat $3p+1=p\left ( x^{2}-x+2 \right )$ saling berkebalikan kemudian carilah akar-akarnya.

4. Salah satu akar persamaan $\left ( q-2 \right )x^{2}-2x+2+2q=0$ adalah dua kali akarnya yang lain, maka nilai $q$ ?.

5. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-2x-8=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$ . Buatlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah sebagai berikut:

$\begin{array}{llll}\\ &&a.&\alpha \quad dan\quad \beta \\ &&b.&3\alpha \quad dan\quad 3\beta \\ &&c.&\displaystyle \frac{\alpha }{3}\quad dan\quad \frac{\beta }{3}\\ &&d.&\displaystyle \frac{1}{4\alpha }\quad dan\quad \frac{1}{4\beta }\\ &&e.&\left ( 3\alpha -2 \right )\quad dan\quad \left ( 3\beta -2 \right )\\ &&f.&\left ( \alpha +\beta \right )\quad dan\quad \left ( \alpha -\beta \right ) \end{array}$ .

6. Tentukanlah fungsi parabola jika diketahui:

Grafiknya melalui titik (-1, 8), (0, 4), dan (1, 2).
grafiknya menyinggung sumbu X di titik (2, 0) dan melalui titik (0, -1)
grafiknya mempunyai koordinat titik balik (-1, -1) dan melalui titik (0, 1).

7. Perhatikanlah gambar segitiga berikut, kemudian tentukanlah panjang tiap sisi, keliling dan luasnya

8. Selisih dua bilangan positif adalah 3 dan jumlah dari kuadratnya adalah 117. Carilah dua bilangan tersebut.

9. Perhatikanlah gambar tabung berikut

Diketahui luas permukaan sebuah tabung dirumuskan sebagai

$\mathbf{Luas\: (L)=2\pi r^{2}+2\pi rt}$ .

dengan $t$ menyatakan tinggi tabung. Jika luas permukaan tabung adalah $\mathbf{748\: cm^{2}}$ serta tingginya adalah 10 cm, maka jari-jari tabung tersebut adalah ….

10. Perhatikanlah gambar berikut:

ABCD dan PQRS adalah persegi panjang sebagaimana ilustrasi gambar di atas.

(a). Tunjukkan bahwa luas PQRS adalah $4x^{2}-70x+300$ .

(b). Jika diketahui luas PQRS adalah setengah dari luas ABCD, buatlah sebuah persamaan dalam $x$ dan carilah solusinya untuk mengetahui panjang masing-masing sisi persegi panjang PQRS.

Tutorial Singkat

Rabu, 23 Agustus 2017

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Tidak ada komentar:

Posting Komentar