Jumlah Riemann
Diberikan sebarang fungsi kontinu y = f(x) pada selang [ a, b ] (Gambar 1), kemudian selang tersebut dipartisi menjadi n bagian dengan memilih n – 1 titik, yaitu x 1 , x 2 , . . . , x n – 1 , di antara a dan b, yang memenuhi kondisi berikut,
Gambar 1
Biasanya, a dan b secara berturut-turut dinotasikan dengan x 0 dan x n . Himpunan
Panjang dari subinterval ke-k adalah Δx k = x k – x k – 1 .
Pada masing-masing subinterval dikontruksi segiempat yang beralaskan di sumbu x dengan ketinggian y = f(x) . Ketinggian segiempat tersebut sebarang, asalkan puncak dari segiempat tersebut memotong kurva pada titik (c k , f(c k )) di mana x k – 1 ≤ c k ≤ x k . Perhatikan Gambar 1 lagi.
Jika f(c k ) positif, maka f(c k ) Δx = alas x tinggi adalah luas dari segiempat. Jika f(c k ) negatif, maka f(c k ) Δx adalah negatif dari luas segiempat. Untuk semua kasus/keadaan, jumlah dari f(c k ) Δx , dengan k = 1 sampai k = n , yang disimbolkan,
Penjumlahan tersebut, yang tergantung pada P dan pemilihan c k , disebut jumlah Riemann dari f pada interval [ a, b ] , yang dinamai oleh matematikawan Jerman Friedrich Bernhard Riemann (1826 – 1866).
Apabila selang [ a, b ] dibagi menjadi subinterval yang semakin banyak, maka jumlah dari luas segiempat akan mendekati luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) pada selang [ a, b ]. Sehingga jumlah Riemann tersebut memiliki nilai limit. Perhatikan definisi berikut.
Norm dari partisi P adalah suatu subinteral terpanjang dari partisi P. Norm dinotasikan sebagai,
Integral tertentu fungsi f dari a ke b merupakan jumlah Riemann fungsi f pada selang [ a, b ] dengan || P || mendekati nol. Atau jika disimbolkan,
a < x 1 < x 2 < . . . < x n – 1 < b.
Gambar 1
P = {x 0 , x 1 , . . . , x n }disebut partisi dari [a, b]. Partisi P tersebut mendefinisikan n bagian selang (subinterval) yang tertutup, yaitu
[x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], . . . , [x n – 1 , x n ].Subinterval tertutup [ x k – 1 , x k ] disebut subinterval ke- k dari P .
Panjang dari subinterval ke-k adalah Δx k = x k – x k – 1 .
Pada masing-masing subinterval dikontruksi segiempat yang beralaskan di sumbu x dengan ketinggian y = f(x) . Ketinggian segiempat tersebut sebarang, asalkan puncak dari segiempat tersebut memotong kurva pada titik (c k , f(c k )) di mana x k – 1 ≤ c k ≤ x k . Perhatikan Gambar 1 lagi.
Jika f(c k ) positif, maka f(c k ) Δx = alas x tinggi adalah luas dari segiempat. Jika f(c k ) negatif, maka f(c k ) Δx adalah negatif dari luas segiempat. Untuk semua kasus/keadaan, jumlah dari f(c k ) Δx , dengan k = 1 sampai k = n , yang disimbolkan,
Penjumlahan tersebut, yang tergantung pada P dan pemilihan c k , disebut jumlah Riemann dari f pada interval [ a, b ] , yang dinamai oleh matematikawan Jerman Friedrich Bernhard Riemann (1826 – 1866).
Apabila selang [ a, b ] dibagi menjadi subinterval yang semakin banyak, maka jumlah dari luas segiempat akan mendekati luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) pada selang [ a, b ]. Sehingga jumlah Riemann tersebut memiliki nilai limit. Perhatikan definisi berikut.
Norm dari partisi P adalah suatu subinteral terpanjang dari partisi P. Norm dinotasikan sebagai,
|| P || (dibaca norm dari P)Apabila || P || mendekati nol, maka jumlah dari luas segiempat mendekati luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) pada selang [ a, b ].
Integral tertentu fungsi f dari a ke b merupakan jumlah Riemann fungsi f pada selang [ a, b ] dengan || P || mendekati nol. Atau jika disimbolkan,
Tidak ada komentar:
Posting Komentar